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在历史的长河中再现与学习
——勾股定理的证明
作品编号：022
投稿时间：2020.7.28
一、教学目标
1、学生在具体的生活情境中发现问题，产生疑惑从而开始新知识的探索，养成良好地独立思考和探究未知的行为习惯。
2、用数格子（或割、补、拼等）的办法和“几何画板”操作法体验勾股定理的探索过程，并能由此猜想出勾股定理，培养学生的探索精神。
3、在教师的引导下，学生探索用“赵爽弦图证法”和“总统证法”证明勾股定理，学生经历“观察—猜想（操作）—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、深刻理解勾股定理的内涵，并能运用勾股定理进行简单的计算，解决相关实际问题．
5、学生在中西方勾股定理的发展和证明历史长河中，品味数学文化，感受数学魅力。
二、教学重难点
重点：了解勾股定理的验证的思想方法，体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
难点：理解勾股定理的内涵。
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
以观看台风的实况录像，提出问题：受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处（如图1），这棵树折断前有多高？
设计意图：目的是激发学生的探究欲望，教师引导学生将实际问题转化成数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就可以解决了，同时又对其进行抗台风精神的宣扬。
（二）动手操作，探索新知
【活动1】 毕达哥拉斯发现了什么？
2500年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形三边的种数量关系。我们也来观察下面图1中的地面，看看能否发现些什么？
图二
探究活动1：学生自主探索，组内交流，总结发现的结论，最后进行展示。教师根据发现的结论，提炼出直角三角形的三边的关系，为探究活动2做好铺垫。
图三
探究活动2：你能用图3证明等腰Rt△ABC的三边长之间所满足的等量关系吗？
教师总结：两个红色的小正方形可以看成四个全等的小三角形，刚好可以拼接成桔黄色的大正方形，及两个小正方形面积和等于大正方形面积。
即得结论：等腰直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
设计意图：通过再现历史，让学生在历史的长河中感觉勾股定理的产生过程，明白数学知识来源于生活，培养学生在生活中探索知识的良好习惯。
【活动2】 用“几何画板”探索一般直角三角形三边之间的关系
请同学们注意观察下面的操作演示，你能得到什么结论？
探究活动：
1、改变直角三角形的两条直角边，你发现哪些量改变，哪些量不变？
2、如果改变直角三角形的三条边的长度都改变，结果又是怎样的？
【猜想】根据以上2个探索活动，我们可以猜想：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
设计意图：通过几何画板的演示，直观展示直角三角形三边的关系，进一步验证活动1的结论，培养学生数形结合思想。
【历史再现】
在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角（如图4），上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。在直角三角形中，一般的我们把“较短的直角边叫勾， 较长的直角边叫股，斜边叫弦”。
人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程。最早发现“勾三股四弦五”这一特殊关系的是大禹治水时期，而有历史记载的是奴隶社会时期的商高，据《周髀算经》记载：商高曾对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”也就是我们现在所说的“勾三股四弦五”。勾股定理名称也就来源于此。古埃及也独立的发现了这一关系，据历史考证金字塔下面底座的直角就是利用它建造的。在西方，最早发现勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，他发现了勾股定理的一般形式，还为此杀了一百头牛来庆贺。因此在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或是“百牛定理”。勾股定理的应用非常的广泛,古自大禹治水,陈子测日，近到宇宙探索它都起了巨大的作用。
设计意图：了解中西方关于勾股定理历史，感受数学之美，了解勾股定理在数学中的价值。
（三）中西对比，证明定理
引言：勾股定理的证明也吸引了无数的数学家和数学爱好者。几千年来人们已经发现了五百多种证明的方法，足以编成厚厚的一本书。因此，勾股定理也可以称为“千古第一定理”。下面我们一起来探讨我国古代的“赵爽弦图证法”和“美国第二十任总统伽菲尔德的总统证法”
【赵爽弦图证法】
汉时(约公元222年)，赵独创了一种叫做“弦图”的图形(如图5)，这是用两个全等的直角三角形(三角形涂上了朱色，它的面积称为“朱实”，图5中的ACBD部分)全成一个矩形，再用这样的四个矩形合成一个空心正方形，中间的空心部分涂上黄色，它的面积叫“中黄实”，又叫“差实”。以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”.四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实。
探究活动：1、图中有几个直角三角形?每一个直角三角形的面积如何表示？
2、中间小正方形（黄色的正方形）的面积如何表示？
3、你能用几种方法表示正方形ABEF的面积？
证法梳理：每一个直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为
正方形ABEF的面积可能表示为4个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，即为，又可以表示为.
所以有.化简后得.
方法引领：赵爽弦图证法，通过割补拼接巧妙地构造几何图形，用两种不同的方法表示同一个正方形的面积，从而得出直角三角形三边的关系，该方法也叫做面积法。在该过程中至少蕴含两种的数学思想方法，其一是数形结合思想，其二是方程的思想．
【总统证法】
伽菲尔德（1831-1881年），美国第二十任总统。在他任众议院议员时，曾发表一种简单的证明勾股定理的方法，后来将这种方法称为总统证法。如图6，以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
探究活动：同学们，你们能根据赵爽弦图证明的思维方法完成勾股定理的证明吗？
证法梳理：∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD//BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.
∴. ∴.
【总结提升】
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
探究活动：1、勾股定理的使用条件？
2、勾股定理可以用来解决什么问题？
教师总结：1、只适用于直角三角形，而一般的三角形不一定适用。
2、勾股定理是解决已知直角三角形的两边，求第三边的问题。其变形公式如
下：
设计意图：通过探究中西方两种证明勾股定理的方法，在对比中感受两种文化的差异和相似之处，培养学生严谨的治学态度，进一步培养学生的数形结合思想。
（四）应用知识，回归生活
例1 已知在Rt△ABC中,a、b为直角边,c为斜边，根据下列已知条件求值：
（1）a=6,c=10, 则 b= .
（2）a=5,b=12，则 c= .
（3）a=1, b=1,则 c= .
（4）在直角三角形中有一边为3，一边为4，另一边是 .
探究活动: 学生自主完成解答，完成后可以组内交流。最后学生展示解答过程和答案。
设计意图：通过学生自主完成该例题，学会运用勾股定理解决相关问题，达到巩固知识的目的。
例2 导入新课时，我们提出了一个问题，同学们现在能解决吗？问题：受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
设计意图：解决导入时候提出的问题。前后呼应，学生从中体会到数学来源于生活同时又回归生活，为生活服务。在解决问题时，引导学生如何将实际问题抽象为数学问题，从而实现用数学知识解决实际问题。
（五）图片欣赏，梳理总结
【图片欣赏】
设计意图：通过图片欣赏，感受数学之美，感爱勾股定理之美，培养学生热爱数学和探索数学的精神。
【梳理总结】
1、直角三角形三边有怎样的数量关系？勾股定理主要用于解决什么问题？
2、你是怎样理解勾股定理称为“千古第一定理”的？
3、本节课的学习你参与讨论吗？新知识的学习你检测的结果如何？
（六）布置作业，拓展思考
【作业】 1、课本P70 2、3、7
2、预习课本P66-67。思考课本中的探究。
【拓展】印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
